Liczby rzeczywiste

WPROWADZENIE

Zbiór liczb rzeczywistych to suma  zbiorów liczb naturalnych N, całkowitych C, wymiernych W i niewymiernych NW. Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2 , 3 itd., liczby calkowite to liczby naturalne + liczby naturalne ze znakiem minus, liczby wymierne przedstawiamy w postaci a/b [a(- C, b (-C/0] czyli ułamka, liczby niewymierne to liczby kóre nie dają sie przedstawić w postaci ułamka-są to np pierwiastki.Na liczbach rzeczywistych wykonujemy dziania dodawania, odejmowania, dzielenia , mnożenia. Działnie jest wykonalne w zbiorze A, jeśli dla każdej poary elementów zbioru A istniej dokładnie jeden element tego zbioru będacy wynikiem działania na  tych elementach.

W zakresie działan na liczbach rzeczywistych zawierają sie działani ana potęgach i logarytmach.

Potęgi

Wyrażenie aⁿ nazywamy n-ta potęga liczby a, przy czym a to podstawa potęgi, a n  to wykładnik potęgi.

W działaniach na potęgach stosujemy nastepujące wzory:

1. aⁿ * a^m = a^n+m

2. aⁿ :a^m = a^n*m, dla a=/0, n>m

3. (aⁿ)^m = a ^n*m

4. aⁿ*bⁿ = (ab)ⁿ

5. aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ, dla ab=/0

6. a^1/n= ⁿ√ a, dla a>=0, n(- N+\{1}

7. a^m/n= (a^1/n )^{m, dla a.0, n(-N+\{!}, m(- C}

8. 0^m/n = 0, dla n(-  N+, m(- C\{0}

Logarytmy

Logarytmem log _ab liczby b przy podstawie a nazywamy rozwiązanie równania a^x=b, a(- R+\{1}.

W działaniach na logarytmach stosujemy następujące wzory:

1. log_a1=0

2. log_aa=1

3. log_a (b*c)=log_ab+log_ac

4. logab/c=logab-logac

5. loga b^α = αlog_ab, dla α(- R

6. log_ab = log_cb/log_ca, c=/1

7. a^log_ab = b

PRZYKŁADY

Zadanie 1.

Rozwiaz równania i  nierówności:

a) |x+1|=5

odp. Z definicji wartości bezwzglednej {x dla x>=0 i -x dla x<0} mamy:

dla D:x>=-1 v x< -1

x+1=5     v x+1=-5

x=4         v  x=-6

odp.Rozwiązaniem równania jest 4 i -6.

b) |7-3x|=1

podobnie jak w podp. a D:7-3x>=0 v 7- 3x<0

                                  7-3x=1   v 7-3x=-1

                         dla x<7/3 x=2   v  dla x>7/3 x= 8/3

odp. rozwiązaniem równania jest 2 i 8/3

c) |x-1|<2

D:x>=1 v x<1

x-1<2 v x-1>-2

x<3 v x >-1

część wspólna będzie rozwiązaniem nieróności:x(- <-1,3>

d) |5-4x|>2

D: 5-4x>=0 v 5-4x<0

  5-4x>2 v 5-4x>-2

dla x<=5/4 x<3/4 v dla x>5/4x>7/4

odp. x(- (-00,3/4> u <7/4,+00)

Zadanie 2

Znajdź podstawę logarytmu a oraz liczbę logarytmowaną b:

a) log_a5 = 0,5

odp: a^0,5 = 5 - oie strony podnosimy do kwadratu

(a^0,5)² = 5²

^a=25

b) log_a⁴√64 = 0,75

odp: a^0,75 = ⁴√64

a^0,75 = 4^4*1/4

^a=4

c) log₁₆b = - 1,25

odp: 16 ^-1,25 = b

b= 1/16^1,25

d) log₃₂b = -0,8

32^-0,8 = b

b=1/32^0,8