Funkcje

  WPROWADZENIE

Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie f każdemu elementowi zbioru X jednego elementu zbioru Y. Zbiór X to dziedzina funkcji a Y to przeciw dziedzina.

Funkcja może być różnowartościowa –dla różnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości f(x₁)=/ f(x₂), parzysta – kiedy dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje tę samą wartość [f(-x)=f(x)], nieparzysta- kiedy dla tych przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości [f(-x)=-f(x)]. Poza tym funkcje mogą być rosnące[x₁2 => f(x₁)2)], malejące [ x₁>x₂=> f(x₁)x2)]i stałe [x₁=/x₂ f(x₁)=f(x₂)].

Funkcje rosnące i malejące to funkcje monotoniczne.

Rodzaje funkcji:

- Liniowa - y=ax+b, wykresem jest linia prosta

- kwadratowa, y=ax²+b, wykresem jest parabola

- homograficzna – y=m/x, dla m=/0 i x=/0, wykresem jest hiperbola

- potęgowa- y=ax ^α –wykres zależy od przypadku funkcji

- wykładnicza-y=a^x

-logarytmiczna- y=log _a x

-trygonometryczne- sinx=y/r, cosx=x/r, tgx=y/x, ctgx=x/y, x,y=/0, gdzie x-długość przyprostokatnej trójkąta prostokątnego, y-długość drugiej przyprostokatnej trójkata prostokątnego, r-długość przeciwprostokątnej

Wykresem funkcji sinus jest sinusoida, cosinus-cosinusoida, tangens-tangensoida, cotangens-cotangensoida

Związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

sin²x+cos²x=1

sinx=+/- (1-cos²x)^1/2

cosx=+/-(1-sin²x)^1/2

tgx=sinx/cosx=1/ctgx

ctg=cosx/sinx=1/tgx

Funkcje sumy i różnicy kątów  

sin(x+/-y)=sinx*cosy+/-cosx*siny

cos(x+/-y)=cos*cosy+/-sinx*siny

tg(x+/-y)= (tgx+/-tgy)/(1+/-tgx*tgy

ctg(x+/-y)=(ctgx*ctgy+/-1)/ctgy+/-ctgx

Funkcje kąta podwojonego 

sin2x=2sinx*cosx

cos2x=cos²x-sin²x

tg2x=2tgx/(1-tg²x)

ctg2x=(ctgx-tgx)/2

PRZYKŁADY

Zadanie 1.

Zbadaj monotoniczność funkcji:

a)      f(x)=2x

odp. 2x>0 lub           2x<0

dla   x>0 f(x)>0, dla x<0 f(x)<0

stąd funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.