Ciągi arytmetyczne i geometryczne

WPROWADZENIE

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczb, dla którego istnieje taka liczba r(- R, dla której a_n+1-a_n=r(różnica ciągu arytmetycznego) dla każdego n(- N₊.

Wzory dla ciągu arytmetycznego:

- n-ty wyraz ciągu: a_n=a₁+(n-1)*r, lub a_n=(a_n-1+a_n+1)/2

- suma n wyrazów: S_n=[(a₁+a_n)*n]/2

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczb, dla kórego istnieje taka liczba q(- R, dla której a_n+1=q*a_n, dla każdego n(- N₊

Wzory ciągu geometrycznego:

-iloraz ciągu q: q=(a_n+1)/a_n

- n-ty wyraz ciągu: a_n=a₁*q^n-1 lub a_n²=a_n-1*a_n+1 

- suma n wyrazów: S_n=[a₁*(1-q^_n)]/(1-q); q=/1

Zadanie 1

Wyznaczmy ciąg arytmetyczny an mając dane: a₇=9, a₁₅=29

odp. Piszemy układ równań

a₁+6r=9

a₁+14r=29

stąd mamy a₁=-6, r=2,5, zatem a_n=-6+(n-1)*2,5=-8,5

Zadanie 2

Obliczmy sume dziesięciu pierwszych kolejnych wyrazów ciągu an=2^n-1

odp. Korzystając ze wzoru na sume mamy S₁₀=[2*(1-2¹⁰)]/(1-2)=2¹¹-2