Wyrażenia algebraiczne

 

Jednomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci ax2, gdzie a jest liczba rzeczywistą zwaną współczynnikiem jednomianu, n to liczba naturalna a x to zmienna. Z kolei wielomian to suma jednomianów. Wielomiany mogą być stopnia 2, 3, 4….itd. w zależności od wartości liczby n. 

Miejscem zerowym wielomianu jest liczba, dla której wartość wielomianu wynosi 0.

Przy wielomianach warto wspomnieć wzory skróconego mnożenia, które stosujemy przy działaniach na wielomianach.

1.(a+b)² = a²+2ab+b²

2. (a-b)²=a²-2ab+b²

3. (a+b)*(a-b)= a²-b²

4. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

5. (a-b)³=a^3-3a²b+3ab²-b³

6. (a+b)*(a²-ab+b²)=a³+b³

7. (a-b)*(a²+ab+b²)=a³-b³

 

PRZYKŁADY

 

Zadanie 1

Rozłóż wielomiany na czynniki.

 

a) a²x²-2a²y²+b²x²-2b²y²

= (a²x²-2a²y²) + (b²x²-2b²y²)= a² (x²-2y²) + b²(x²-2y²)= (a²+ b²)+( x²-2y²)

 

b) x³+x²-x-1

=x² (x+1)-(x+1)=(x²-1)*(x+1)

 

Zadanie 2

Wykonaj dzielenie wielomianu

(x⁴+1):(x+1)=x³-x²+x-1

-x⁴-x³

      -x³+1

        x³+x²

x²+1

-x²-x

-x+1

  x+1 

      2 reszty

 

Stąd mamy x⁴+1=(x+1)*(x³-x²+x-1)+2

 

Zadanie 3

Dla jakich wartości parametrów a,b reszta z dzielenia wielomianu W(x)= x³-ax²+bx+1 przez wielomian Q(x)=x²-4x+3 jest równa R(x)=x+1

 

Odp. Dzielimy wielomian W(x) przez wielomian Q(X) i otrzymujemy:

 

(x³-ax²+bx+1): (x²-4x+3)= x+ 4-a i R(X)=x(b-4a+13)-11+3a, stąd

 

x³-ax²+bx+1= (x²-4x+3)*(x+4-a) + x+1, upraszczamy wyrażenia i wyliczamy b

 

bx+1=-12x=4ax+13-3a

b=(-12x+4ax+12-3a)/x

 

x(b-4a+13)-11+3a=x+1, stąd a wynosi

a= (-bx-12x+12)/(3-4x)

    

we wzorze na a podstawiamy wzór na b:

 

a=[(-12x-4ax+12-3a)-12x+12]/(3-4x)

 

a=(24-24x)/6

 

na koniec podstawiając za x=0 do wzorów na a i b mamy:

 

a=4 i b=4