Równania i nierówności

WPROWADZENIE

Metody rozwiązywania równań i nierówności.

1. Metoda równań (nierówności) równoważnych

-wyznaczamy dziedzinę równania(nierówności)

-dodajemy do obu stron równania(nierówności) tę samą liczbę

-mnożymy obie strony równania(nierówności) przez tę samą funkcję

- przekształcamy do najprostszej postaci redukując wyrazy podobne.

2. Metoda analizy starożytnych

- zakładamy , że równanie(nierówność) ma rozwiązanie i jest nim liczba a f(a)=g(a)

PRZYKŁADY

Zadanie1

Rozwiąż równanie (x+3)/(x-2)+1=(x+8)/(x-2) metodą równań równoważnych.

odp. Dziedzina równania to R/{2}

obie strony równania mnożymy przez (x-2) i otrzymujemy:

(x+3)+(x-2)=(x+8)

Redukujemy wyrazy podobne

x=7  należy do dziedziny wiec jest rozwiązaniem równania.

Popatrzmy jak przebiega rozwiązanie nierówności:

(x+3)/(x-2)+1<(x+8)/(x-2)

[(x+3)+x-2]/(x-2)-[(x+8)/(x-2)]<0

(2x+1-x-8)*(x-2)<0

(x-7)*(x-2)<0

W przypadku neiróności rozwiązaniem będzie x(- (2,7)

Zadanie 2

Rozwiąz równanie (2x+5)^1/2-x=1 metoda analizy starożytnych

(2a+5)^1/2 - a=1

(2a+5)^1/2=1+a/²

2a+5=(1+a)²

2a+5=1+2a+a²

a=2 lub a=-2

Sprawdzamy czy 2 i -2 sa rzeczywiście rozwiązaniami równania podstawiając do wyjsciowego wzoru

(2*2)1/2-2=1 lub [2*(-2)]1/2+2=1

3-2=1 lub 1+2=/1

Zatem 2 jest rozwiązaniem równania.