Prawdopodobieństwo

WPROWADZENIE

W matematyce wyróżniamy następujące elementy kombinatoryki:

1. Permutacja- to każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów skończonego zbioru i wyrażamy wzorem:

   P_n=n!

2. Kombinacja - to każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego i wyraża sie wzorem:

   C _n^k = (ⁿ_k)=n!/[k!*(n-k)!]

3. Wariacja bez powtórzeń - to każdy k - wyrazowy ciąg, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n-elementowego zbioru:

   V_n^k = n!/(n-k)!

4. Wariacja z powtórzeniami - to każdy k - wyrazowy ciąg, o wyrazach należących do n-elementowego zbioru:

   W_n^k= n^k

PRZYKŁADY:

Zadanie 1

Ile różnych sześciocyfrowych liczb, o niepowtarzających sie cyfrach mozna utworzyc z cyfr 3,4,5,6,7,8.

Odp. Każda liczba jest permutacją zbioru liczb {3,4,5,6,7,8}

P₆=6!=120

Zadanie 2

W klasie 35 uczniów należy wybrać 5 -osobowy samorząd. Na ile sposobów mozna to zrobić?

Jest to kombinacja uczniów całej klasy:

C⁵₃₅=35!/(5!*30!)=324 632

Zadanie 3

Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ułóż liczby czterocyfrowe

a) o niepowtarzających sie cyfrach

odp. to wariacja  bez powtorzeń:

V⁴₉=9!/5!=3 024

b)o powtarzających sie cyfrach

odp. to wariacja z powtórzeniami:

W⁴₉=9⁴