Liczby rzeczywiste
WPROWADZENIE
Zbiór liczb rzeczywistych to suma zbiorów liczb naturalnych N, całkowitych C, wymiernych W i niewymiernych NW. Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2 , 3 itd., liczby calkowite to liczby naturalne + liczby naturalne ze znakiem minus, liczby wymierne przedstawiamy w postaci a/b [a(- C, b (-C/0] czyli ułamka, liczby niewymierne to liczby kóre nie dają sie przedstawić w postaci ułamka-są to np pierwiastki.Na liczbach rzeczywistych wykonujemy dziania dodawania, odejmowania, dzielenia , mnożenia. Działnie jest wykonalne w zbiorze A, jeśli dla każdej poary elementów zbioru A istniej dokładnie jeden element tego zbioru będacy wynikiem działania na tych elementach.
W zakresie działan na liczbach rzeczywistych zawierają sie działani ana potęgach i logarytmach.
Potęgi
Wyrażenie an nazywamy n-ta potęga liczby a, przy czym a to podstawa potęgi, a n to wykładnik potęgi.
W działaniach na potęgach stosujemy nastepujące wzory:
1. an * am = an+m
2. an :am = an*m, dla a=/0, n>m
3. (an)m = a n*m
4. an*bn = (ab)n
5. an:bn = (a:b)n, dla ab=/0
6. a1/n= n√ a, dla a>=0, n(- N+\{1}
7. am/n= (a1/n )m, dla a.0, n(-N+\{!}, m(- C
8. 0m/n = 0, dla n(- N+, m(- C\{0}
Logarytmy
Logarytmem log ab liczby b przy podstawie a nazywamy rozwiązanie równania ax=b, a(- R+\{1}.
W działaniach na logarytmach stosujemy następujące wzory:
1. loga1=0
2. logaa=1
3. loga (b*c)=logab+logac
4. logab/c=logab-logac
5. loga bα = αlogab, dla α(- R
6. logab = logcb/logca, c=/1
7. alogab = b
PRZYKŁADY
Zadanie 1.
Rozwiaz równania i nierówności:
a) |x+1|=5
odp. Z definicji wartości bezwzglednej {x dla x>=0 i -x dla x<0} mamy:
dla D:x>=-1 v x< -1
x+1=5 v x+1=-5
x=4 v x=-6
odp.Rozwiązaniem równania jest 4 i -6.
b) |7-3x|=1
podobnie jak w podp. a D:7-3x>=0 v 7- 3x<0
7-3x=1 v 7-3x=-1
dla x<7/3 x=2 v dla x>7/3 x= 8/3
odp. rozwiązaniem równania jest 2 i 8/3
c) |x-1|<2
D:x>=1 v x<1
x-1<2 v x-1>-2
x<3 v x >-1
część wspólna będzie rozwiązaniem nieróności:x(- <-1,3>
d) |5-4x|>2
D: 5-4x>=0 v 5-4x<0
5-4x>2 v 5-4x>-2
dla x<=5/4 x<3/4 v dla x>5/4x>7/4
odp. x(- (-00,3/4> u <7/4,+00)
Zadanie 2
Znajdź podstawę logarytmu a oraz liczbę logarytmowaną b:
a) loga5 = 0,5
odp: a0,5 = 5 - oie strony podnosimy do kwadratu
(a0,5)2 = 52
a=25
b) loga4√64 = 0,75
odp: a0,75 = 4√64
a0,75 = 44*1/4
a=4
c) log16b = - 1,25
odp: 16 -1,25 = b
b= 1/161,25
d) log32b = -0,8
32-0,8 = b
b=1/320,8