Funkcje
WPROWADZENIE
Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie f każdemu elementowi zbioru X jednego elementu zbioru Y. Zbiór X to dziedzina funkcji a Y to przeciw dziedzina.
Funkcja może być różnowartościowa –dla różnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości f(x1)=/ f(x2), parzysta – kiedy dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje tę samą wartość [f(-x)=f(x)], nieparzysta- kiedy dla tych przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości [f(-x)=-f(x)]. Poza tym funkcje mogą być rosnące[x1
Funkcje rosnące i malejące to funkcje monotoniczne.
Rodzaje funkcji:
- Liniowa - y=ax+b, wykresem jest linia prosta
- kwadratowa, y=ax2+b, wykresem jest parabola
- homograficzna – y=m/x, dla m=/0 i x=/0, wykresem jest hiperbola
- potęgowa- y=ax α –wykres zależy od przypadku funkcji
- wykładnicza-y=ax
-logarytmiczna- y=log a x
-trygonometryczne- sinx=y/r, cosx=x/r, tgx=y/x, ctgx=x/y, x,y=/0, gdzie x-długość przyprostokatnej trójkąta prostokątnego, y-długość drugiej przyprostokatnej trójkata prostokątnego, r-długość przeciwprostokątnej
Wykresem funkcji sinus jest sinusoida, cosinus-cosinusoida, tangens-tangensoida, cotangens-cotangensoida
Związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:
sin2x+cos2x=1
sinx=+/- (1-cos2x)1/2
cosx=+/-(1-sin2x)1/2
tgx=sinx/cosx=1/ctgx
ctg=cosx/sinx=1/tgx
Funkcje sumy i różnicy kątów
sin(x+/-y)=sinx*cosy+/-cosx*siny
cos(x+/-y)=cos*cosy+/-sinx*siny
tg(x+/-y)= (tgx+/-tgy)/(1+/-tgx*tgy
ctg(x+/-y)=(ctgx*ctgy+/-1)/ctgy+/-ctgx
Funkcje kąta podwojonego
sin2x=2sinx*cosx
cos2x=cos2x-sin2x
tg2x=2tgx/(1-tg2x)
ctg2x=(ctgx-tgx)/2
PRZYKŁADY
Zadanie 1.
Zbadaj monotoniczność funkcji:
a) f(x)=2x
odp. 2x>0 lub 2x<0
dla x>0 f(x)>0, dla x<0 f(x)<0
stąd funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.